高中数学教案_高中数学教案案例

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#高一# 导语青春是一场远行，回不去了。青春是一场相逢，忘不掉了。但青春却留给我们最宝贵的友情。友情其实很简单，只要那么一声简短的问候、一句轻轻的谅解、一份淡淡的惦记，就足矣。当我们在毕业季痛哭流涕地说出再见之后，请不要让再见成了再也不见。这篇《高一数学第一章“集合”教案》是 考 网高一频道为你整理的，希望你喜欢！

　篇一

　一、目的要求

　1．通过本章的引言，使学生初步了解本章所研究的问题是集合与简易逻辑的有关知识，并认识到用数学解决实际问题离不开集合与逻辑的知识。

　2．在小学与初中的基础上，结合实例，初步理解集合的概念，并知道常用数集及其记法。

　3.从集合及其元素的概念出发，初步了解属于关系的意义。

　二、内容分析

　1．集合是中学数学的一个重要的基本概念。在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题。例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集。至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础。

　把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础。例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑。

　2.1.1节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明。然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子。

　3．这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念。学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义。本节课的教学重点是集合的基本概念。

　4．在初中几何中，点、直线、平面等概念都是原始的、不定义的概念，类似地，集合则是集合论中的原始的、不定义的概念。在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识。教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。”这句话，只是对集合概念的描述性说明。

　三、教学过程

　提出问题：

　教科书引言所给的问题。

　组织讨论：

　为什么“回答有20名同学参赛”不一定对，怎么解决这个问题。

　归纳总结：

　1．可能有的同学两次运动会都参加了，因此，不能简单地用加法解决这个问题.

　2．怎么解决这个问题呢？以前我们解一个问题，通常是先用代数式表示问题中的数量关系，再进一步求解，也就是先用数学语言描述它，把它数学化。这个问题与我们过去学过的问题不同，是属于与集合有关的问题，因此需要先用集合的语言描述它，完全解决问题，还需要更多的集合与逻辑的知识，这就是本章将要学习的内容了。

　提出问题：

　1．在初中，我们学过哪些集合？

　2．在初中，我们用集合描述过什么？

　组织讨论：

　什么是集合？

　归纳总结：

　1．代数：实数集合，不等式的解集等；

　几何：点的集合等。

　2．在初中几何中，圆的概念是用集合描述的。

　新课讲解：

　1．集合的概念：（具体举例后，进行描述性定义）

　(1)某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。

　(2)元素：集合中的每个对象叫做这个集合的元素。

　(3)集合中的元素与集合的关系：

　a是集合A的元素，称a属于集合A，记作a∈A；

　a不是集合A的元素，称a不属于集合A，记作。

　例如，设B＝{1，2，3，4，5}，那么5∈B，

　注：集合、元素概念是数学中的原始概念，可以结合实例理解它们所描述的整体与个体的关系，同时，应着重从以下三个元素的属性，来把握集合及其元素的确切含义。

　①确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。

　例如，像“我国的小河流”、“年轻人”、“接近零的数”等都不能组成一个集合。

　②互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的。

　此外，集合还有无序性，即集合中的元素无顺序。

　例如，集合{1，2}，与集合{2，1｝表示同一集合。

　2．常用的数集及其记法：

　全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N，非负整数集内排除0的集，表示成或；

　全体整数的集合通常简称整数集，记作Z；

　全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q；

　全体实数的集合通常简称实数集，记作R。

　注：①自然数集与非负整数集是相同的，就是说，自然数集包括数0，这与小学和初中学习的可能有所不同；

　②非负整数集内排除0的集，也就是正整数集，表示成或。其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成或。负整数集、正有理数集、正实数集等，没有专门的记法。

　课堂练习：

　教科书1．1节第一个练习第1题。

　归纳总结：

　1．集合及其元素是数学中的原始概念，只能作描述性定义。学习时应结合实例弄清其含义。

　2．集合中元素的特性中，确定性可以用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集合的表示，无序性可以用于判定集合间的关系（如后面要学习的包含或相等关系等）。

　四、布置作业

　教科书1．1节第一个练习第2题（直接填在教科书上）。

　篇二

　教学目的：

　（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法

　（2）使学生初步了解“属于”关系的意义

　（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

　教学重点：集合的基本概念及表示方法

　教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示

　一些简单的集合

　授课类型：新授课

　课时安排：1课时

　教具：多媒体、实物投影仪

　内容分析：

　1．集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础

　把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑

　本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子

　这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念

　集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明

　教学过程：

　一、复习引入：

　1．简介数集的发展，复习公约数和最小公倍数，质数与和数；

　2．教材中的章头引言；

　3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；

　4．“物以类聚”，“人以群分”；

　5．教材中例子（P4）

　二、讲解新课：

　阅读教材第一部分，问题如下：

　（1）有那些概念？是如何定义的？

　（2）有那些符号？是如何表示的？

　（3）集合中元素的特性是什么？

　（一）集合的有关概念：

　由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.

　定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．

　1、集合的概念

　（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）

　（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素

　2、常用数集及记法

　（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，

　（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+

　（3）整数集：全体整数的集合记作Z,

　（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q,

　（5）实数集：全体实数的集合记作R

　注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括

　数0

　（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+Q、Z、R等其它

　数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0

　的集，表示成Z*

　3、元素对于集合的隶属关系

　（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

　（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作

　4、集合中元素的特性

　（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，

　或者不在，不能模棱两可

　（2）互异性：集合中的元素没有重复

　（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

　5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

　元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

　⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写

　三、练习题：

　1、教材P5练习1、2

　2、下列各组对象能确定一个集合吗？

　（1）所有很大的实数（不确定）

　（2）好心的人（不确定）

　（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）

　3、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__

　4、由实数x,－x,｜x｜,所组成的集合，最多含（A）

　（A）2个元素（B）3个元素（C）4个元素（D）5个元素

　5、设集合G中的元素是所有形如a＋b（a∈Z,b∈Z）的数，求证：

　(1)当x∈N时,x∈G;

　(2)若x∈G，y∈G，则x＋y∈G，而不一定属于集合G

　证明(1)：在a＋b（a∈Z,b∈Z）中，令a=x∈N,b=0,

　则x=x＋0*=a＋b∈G,即x∈G

　证明(2)：∵x∈G，y∈G，

　∴x=a＋b（a∈Z,b∈Z）,y=c＋d（c∈Z,d∈Z）

　∴x+y=(a＋b)+(c＋d)=(a+c)+(b+d)

　∵a∈Z,b∈Z,c∈Z,d∈Z

　∴(a+c)∈Z,(b+d)∈Z

　∴x+y=(a+c)+(b+d)∈G，

　又∵＝

　且不一定都是整数，

　∴＝不一定属于集合G

　四、小结：本节课学习了以下内容：

　1．集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于）

　2．集合元素的性质：确定性，互异性，无序性

　3．常用数集的定义及记法

　五、课后作业：

　六、板书设计（略）

　七、课后记：

　八、附录：康托尔简介

　发疯了的数学家康托尔（GeorgCantor，1845－1918）是德国数学家，集合论的

　1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷

　康托尔11岁时移居德国，在德国读中学

　1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期

　1867年以数论方面的论文获博士学位

　1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授

　由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而取退避三舍的态度

　在1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战

　他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应

　这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论

　康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂

　有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”

　来自数学*们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神*症，被送进医院

　真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩

　18年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作

　”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦

　1918年1月6日，康托尔在一家院去世

　集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣

　康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础

　康托尔创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础

　从而解决17世纪牛顿（I.Newton，1642－1727）与莱布尼茨（G.W.Leibniz，1646－1716）创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论所缺乏的逻辑基础和从19世纪开始，柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，1815－18）等人进行的微积分理论严格化所建立的极限理论

　克隆尼克（L.Kronecker，1823－1891），康托尔的老师，对康托尔表现了无微不至的关怀

　他用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、连续不断地攻击康托尔达十年之久

　他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔

　横加阻挠康托尔在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位

　使得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折

　法国数学家彭加勒（H.Poi-ncare，1854－1912）：我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西

　集合论是一个有趣的“病理学的情形”，后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了

　德国数学家魏尔（C.H.Her-mannWey1，1885－1955）认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾

　菲利克斯．克莱因（F.Klein，1849－1925）不赞成集合论的思想

　数学家H．A．施瓦兹，康托尔的好友，由于反对集合论而同康托尔断交

　从1884年春天起，康托尔患了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安，时时发作，不得不经常住到院的疗养所去

　变得很自卑，甚至怀疑自己的工作是否可靠

　他请求哈勒大学*把他的数学教授职位改为哲学教授职位

　健康状况逐渐恶化，1918年，他在哈勒大学附属院去世

　流星埃．伽罗华（E.Galois，1811－1832），法国数学家

　伽罗华17岁时，就着手研究数学中最困难的问题之一一般π次方程求解问题

　许多数学家为之耗去许多精力，但都失败了

　直到1770年，法国数学家拉格朗日对上述问题的研

　究才算迈出重要的一步伽罗华在前人研究成果的基础上，利用群论的方法从系统结构的整体上彻底解决了根式解的难题他从拉格朗日那里学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化成或者归结为置换群及其子群结构的分析上同时创立了具有划时代意义的数学分支——群论，数学发展作出了重大贡献1829年，他把关于群论研究所初步结果的第一批论文提交给法国科学院科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人在1830年1月18日柯西曾对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了以参加科学院的数学大奖评选，论文寄给当时科学院终身秘书J．B．傅立叶，但傅立叶在当年5月就去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿1831年1月伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作当时的数学家S．K．泊松为了理解这篇论文绞尽了脑汁尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它1832年5月30日，临死的前一夜，他把他的重大科研成果匆忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶保存下来，从而使他的劳动结晶流传后世，造福人类1832年5月31日离开了人间死因参加无意义的决斗受重伤1846年，他死后14年，法国数学家刘维尔着手整理伽罗华的重大创作后，首次发表于刘维尔主编的《数学杂志》

2020高中数学教学教案3篇

圆的方程

教学目标

　（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径．

（2）掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化．

（3）了解参数方程的概念，理解圆的参数方程，能够进行圆的普通方程与参数方程之间的互化，能应用圆的参数方程解决有关的简单问题．

（4）掌握直线和圆的位置关系，会求圆的切线．

（5）进一步理解曲线方程的概念、熟悉求曲线方程的方法．

教学建议

教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

①本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导，根据条件求圆的方程，用圆的方程解决相关问题．

②本节的难点是圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用．

教法建议

（1）圆是最简单的曲线．这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备．同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法．

（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结．

（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识．

（4）有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题．建议适当选择一些内容供学生研究．例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题．类似的还有圆系方程等问题．

教学设计示例

圆的一般方程

教学目标：

　（1）掌握圆的一般方程及其特点．

　（2）能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径．

　（3）能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程．

　（4）通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法．

教学重点：（1）用配方法，把圆的一般方程转化成标准方程，求出圆心和半径．

（2）用待定系数法求圆的方程．

教学难点：圆的一般方程特点的研究．

教学用具：计算机．

教学方法：启发引导法，讨论法．

教学过程：

引入

前边已经学过了圆的标准方程

把它展开得

任何圆的方程都可以通过展开化成形如

①

的方程

问题1

形如①的方程的曲线是否都是圆？

师生共同讨论分析：

　如果①表示圆，那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的．我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗？运用配方法，得

②

显然②是不是圆方程与 是什么样的数密切相关，具体如下：

　（1）当 时，②表示以 为圆心、以 为半径的圆；

　（2）当 时，②表示一个点 ；

　（3）当 时，②不表示任何曲线．

　总结：任意形如①的方程可能表示一个圆，也可能表示一个点，还有可能什么也不表示．

圆的一般方程的定义：

　当 时，①表示以 为圆心、以 为半径的圆，

　此时①称作圆的一般方程．

　即称形如 的方程为圆的一般方程．

问题2圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异同．

　（1） 和 的系数相同，都不为0．

　（2）没有形如 的二次项．

圆的一般方程与一般的二元二次方程

　③

相比较，上述（1）、（2）两个条件仅是③表示圆的必要条件，而不是充分条件或充要条件．

圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：

　（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然．

　（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．

实例分析

例1：下列方程各表示什么图形．

　（1） ；

　（2） ；

　（3） ．

学生演算并回答

　（1）表示点（0，0）；

　（2）配方得 ，表示以 为圆心，3为半径的圆；

　（3）配方得 ，当 、 同时为0时，表示原点（0，0）；当 、 不同时为0时，表示以 为圆心， 为半径的圆．

　例2：求过三点 ， ， 的圆的方程，并求出圆心坐标和半径．

　分析：由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程，那么本题既可以用标准方程求解，也可以用一般方程求解．

　解：设圆的方程为

因为 、 、 三点在圆上，则有

解得： ， ，

所求圆的方程为

可化为

圆心为 ，半径为5．

请同学们再用标准方程求解，比较两种解法的区别．

概括总结通过学生讨论，师生共同总结：

　（1）求圆的方程多用待定系数法．其步骤为：由题意设方程（标准方程或一般方程）；根据条件列出关于待定系数的方程组；解方程组求出系数，写出方程．

　（2）如何选用圆的标准方程和圆的一般方程．一般地，易求圆心和半径时，选用标准方程；如果给出圆上已知点，可选用一般方程．

下面再看一个问题：

　例3： 经过点 作圆 的割线，交圆 于 、 两点，求线段 的中点 的轨迹．

　解：圆 的方程可化为 ，其圆心为 ，半径为2．设 是轨迹上任意一点．

　∵

　∴

即

化简得

点 在曲线上，并且曲线为圆 内部的一段圆弧．

练习巩固

　（1）方程 表示的曲线是以 为圆心，4为半径的圆．求 、 、 的值．（结果为4，－6，－3）

　（2）求经过三点 、 、 的圆的方程．

　分析：用圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组得圆的方程为 ．

　（3）课本第79页练习1，2．

小结师生共同总结：

（1）圆的一般方程及其特点．

（2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径．

（3）用待定系数法求圆的方程．

作业课本第82页5，6，7，8．

高中数学必修5《不等关系与不等式》教案

　仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;俯视大地时，什么都比你低，你会自负;只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，才能在苍穹沃土之间找到你真正的位置。无需自卑，不要自负，坚持自信。接下来是我为大家整理的2020高中数学教学教案，希望大家喜欢!

2020高中数学教学教案一

　《平面向量》

　各位评委,老师们:大家好!

　很高兴参加这次说课活动.这对我来说也是一次难得的学习和锻炼的机会,感谢各位老师在百忙之中来此予以指导.希望各位评委和老师们对我的说课内容提出宝贵意见.

　我说课的内容是<平面向量>的教学,所用的教材是人民 教育 出版社出版的全日制普通高级中学教科书(试验修订本-必修)<数学>第一册下,教学内容为第96页至98页第五章第一节.本校是浙江省一级重点中学,学生基础相对较好.我在进行教学设计时,也充分考虑到了这一点.

　下面我从教材分析,教学目标的确定, 教学 方法 的选择和教学过程的设计四个方面来汇报我对这节课的教学设想.

　一教材分析

　(1)地位和作用

　向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有着深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移),相似,垂直,勾股定理等就可以转化为向量的加(减)法,数乘向量,数量积运算(运算率),从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数,几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中具有广泛的应用.

　平面向量的基本概念是在学生了解了物理学中的有关力,位移等矢量的概念的基础上进一步对向量的深入学习.为学习向量的知识体系奠定了知识和方法基础.

　(2)教学结构的调整

　课本在这一部分内容的教学为一课时,首先从小船航行的距离和方向两个要素出发,抽象出向量的概念,并重点说明了向量与数量的区别.然后介绍了向量的几何表示,向量的长度,零向量,单位向量,平行向量,共线向量,相等向量等基本概念.为使学生更好地掌握这些基本概念,同时深化其认知过程和探究过程.在教学中我将教学的顺序做如下的调整:将本节教学中认知过程的教学内容适当集中,以突出这节课的主题;例题,习题部分主要由学生依照概念自行分析,独立完成.

　(3)重点,难点,关键

　由于本节课是本章内容的第一节课，是学生学习本章的基础.为了本章后面知识的学习，首先必须掌握向量的概念，要抓住向量的本质:大小与方向.所以向量,相等向量的概念,向量的几何表示是这节课的重点.本节课是为高一后半学期学生设计的,尽管此时的学生已经有了一定的 学习方法 和习惯,但根据以往的教学 经验 ,多数学生对向量的认识还比较单一,仅仅考虑其大小,忽略其方向,这对学生的理解能力要求比较高,所以我认为向量概念也是这节课的难点.而解决这一难点的关键是多用复杂的几何图形中相等的有向线段让学生进行辨认,加深对向量的理解.

　二教学目标的确定

　根据本课教材的特点,新大纲对本节课的教学要求,学生身心发展的合理需要,我从三个方面确定了以下教学目标:

　(1)基础知识目标:理解向量,零向量,单位向量,共线向量,平行向量,相等向量的概念,会用字母表示向量,能读写已知图中的向量.会根据图形判定向量是否平行,共线,相等.

　(2)能力训练目标：培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法,培养学生观察问题,分析问题,解决问题的能力。

　(3)情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。

　三教学方法的选择

　Ⅰ教学方法

　本节课我用了”启发探究式的教学方法,根据本课教材的特点和学生的实际情况在教学中突出以下两点:

　(1)由教材的特点确立类比思维为教学的主线.

　从教材内容看平面向量无论从形式还是内容都与物理学中的有向线段,矢量的概念类似.因此在教学中运用类比作为思维的主线进行教学.让学生充分体会数学知识与其他学科之间的联系以及发生与发展的过程.

　(2)由学生的特点确立自主探索式的学习方法

　通常学生对于概念课学起来很枯燥,不感兴趣,因此要考虑学生的情感需要,找一些学生感兴趣的题材来激发学生的学习兴趣,另外,学生都有表现自己的欲望,希望得到老师和其他同学的认可,要多表扬,多肯定来激励他们的学习热情.考虑到我校学生的基础较好,思维较为活跃,对自主探索式的学习方法也有一定的认识,所以在教学中我通过创设问题情境,启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探究.将学生的独立思考,自主探究,交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程,突出学生的主体作用.

　Ⅱ教学手段

　本节课中,除使用常规的教学手段外,我还使用了多媒体投影仪和计算机来教学.多媒体投影为师生的交流和讨论提供了平台;计算机演示的作图过程则有助于渗透数形结合思想,更易于对概念的理解和难点的突破.

　四教学过程的设计

　Ⅰ知识引入阶段---提出学习课题,明确学习目标

　(1) 创设情境——引入概念

　数学学习应该与学生的生活融合起来，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们在生活中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。

　由生活中具体的向量的实例引入:大海中船只的航线, 中国象棋 中”马”,”象”的走法等.这些符合高中学生思维活跃, 想象力 丰富的特点,有利于激发学生的学习兴趣.

　(2) 观察归纳——形成概念

　由实例得出有向线段的概念,有向线段的三个要素:起点,方向,长度.明确知道了有向线段的起点,方向和长度,它的终点就确定.再有目的的进行设计,引导学生概括 总结 出本课新的知识点：向量的概念及其几何表示。

　(3) 讨论研究——深化概念

　在得到概念后进行归纳,深化,之后向学生提出以下三个问题:

　①向量的要素是什么?

　②向量之间能否比较大小?

　③向量与数量的区别是什么?

　同时指出这就是本节课我们要研究和学习的主题.

　Ⅱ知识探索阶段---探索平面向量的平行向量.相等向量等概念

　(1) 总结 反思 ——提高认识

　方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共线向量，并且规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定零向量与零向量相等.平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要条件.

　(2)即时训练—巩固新知

　为了使学生达到对知识的深化理解，从而达到巩固提高的效果，我特地设计了一组即时训练题，通过学生的观察尝试，讨论研究，教师引导来巩固新知识。

　[练习1]判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

　 2020高中数学教学教案二

　《正弦定理》

　大家好，今天我向大家说课的题目是《正弦定理》。下面我将从以下几个方面介绍我这堂课的教学设计。

　一 教材分析

　本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系与判定三角形的全等也有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。因此，正弦定理和余弦定理的知识非常重要。

　根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：

　认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。

　能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生的创新意识和观察与 逻辑思维 能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题。

　情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。

　教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

　教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

　二 教法

　根据教材的内容和编排的特点，为是更有效地突出重点，空破难点，以学业生的发展为本，遵照学生的认识规律，本讲遵照以教师为主导，以学生为主体，训练为主线的指导思想， 用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以及及时地鼓励，使他们知难而进。另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导。突破难点的方法：抓住学生的能力线联系方法与技能使学生较易证明正弦定理，另外通过例题和练习来突破难点

　三 学法：

　指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。

　四 教学过程

　第一：创设情景，大概用2分钟

　第二：实践探究，形成概念，大约用25分钟

　第三：应用概念，拓展反思，大约用13分钟

　(一)创设情境，布疑激趣

　“兴趣是的老师”，如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半，本节课由一个实际问题引入，“工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，∠A=47°,∠B=53°,AB长为1m,想修好这个零件，但他不知道AC和BC的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗?”激发学生帮助别人的热情和学习的兴趣，从而进入今天的学习课题。

　(二)探寻特例，提出猜想

　1.激发学生思维，从自身熟悉的特例(直角三角形)入手进行研究，发现正弦定理。

　2.那结论对任意三角形都适用吗?指导学生分小组用刻度尺、量角器、计算器等工具对一般三角形进行验证。

　3.让学生总结实验结果，得出猜想：

　在三角形中，角与所对的边满足关系

　这为下一步证明树立信心，不断的使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。

　(三)逻辑推理，证明猜想

　1.强调将猜想转化为定理，需要严格的理论证明。

　2.鼓励学生通过作高转化为熟悉的直角三角形进行证明。

　3.提示学生思考哪些知识能把长度和三角函数联系起来，继而思考向量分析层面，用数量积作为工具证明定理，体现了数形结合的数学思想。

　4.思考是否还有其他的方法来证明正弦定理，布置课后练习，提示，做三角形的外接圆构造直角三角形，或用坐标法来证明

　(四)归纳总结，简单应用

　1.让学生用文字叙述正弦定理，引导学生发现定理具有对称和谐美，提升对数学美的享受。

　2.正弦定理的内容，讨论可以解决哪几类有关三角形的问题。

　3.运用正弦定理求解本节课引入的三角形零件边长的问题。自己参与实际问题的解决，能激发学生知识后用于实际的价值观。

　(五)讲解例题，巩固定理

　1.例1。在△ABC中，已知A=32°,B=81.8°,a=42.9cm.解三角形.

　例1简单，结果为解，如果已知三角形两角两角所夹的边，以及已知两角和其中一角的对边，都可利用正弦定理来解三角形。

　2. 例2. 在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.

　例2较难，使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能。要求学生熟悉掌握已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形。完了把时间交给学生。

　(六)课堂练习，提高巩固

　1.在△ABC中,已知下列条件,解三角形.

　(1)A=45°,C=30°,c=10cm

　(2)A=60°,B=45°,c=20cm

　2. 在△ABC中,已知下列条件,解三角形.

　(1)a=20cm,b=11cm,B=30°

　(2)c=54cm,b=39cm,C=115°

　学生板演，老师巡视，及时发现问题，并解答。

　(七)小结反思，提高认识

　通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法?你对此有何体会?

　1.用向量证明了正弦定理，体现了数形结合的数学思想。

　2.它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系。

　3.定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运用分类讨论的思想。

　(从实际问题出发，通过猜想、实验、归纳等思维方法，最后得到了推导出正弦定理。我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。在强调研究性学习方法，注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。)

　(八)任务后延，自主探究

　如果已知一个三角形的两边及其夹角，要求第三边，怎么办?发现正弦定理不适用了，那么自然过渡到下一节内容，余弦定理。布置作业，预习下一节内容。

　 2020高中数学教学教案三

　《曲线和方程》

　一、教材分析

　1.教材背景

　作为曲线内容学习的开始，“曲线与方程”这一小节思想性较强，约需三课时，第一课时介绍曲线与方程的概念;第二课时讲曲线方程的求法;第三课时侧重对所求方程的检验.

　本课为第二课时

　主要内容有：解析几何与坐标法;求曲线方程的方法(直译法)、步骤及例题探求.

　2.本课地位和作用

　承前启后，数形结合

　曲线和方程，既是直线与方程的自然延伸，又是圆锥曲线学习的必备，是后面平面曲线学习的理论基础，是解几中承上启下的关键章节.

　“曲线”与“方程”是点的轨迹的两种表现形式.“曲线”是轨迹的几何形式，“方程”是轨迹的代数形式;求曲线方程是用方程研究曲线的先导，是解析几何所要解决的两大类问题的首要问题.体现了坐标法的本质——代数化处理几何问题，是数形结合的典范.

　后继性、可探究性

　求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点(x,y)横纵坐标间的等量关系，但曲线轨迹常无法事先预知类型，通过多媒体演示可以生动展现运动变化特点，但如何获得曲线的方程呢?通过创设情景，激发学生兴趣，充分发挥其主体地位的作用，学习过程具有较强的探究性.

　同时，本课内容又为后面的轨迹探求提供方法的准备，并且以后还会继续完善轨迹方程的求解方法.

　数学建模与示范性作用

　曲线的方程是解析几何的核心.求曲线方程的过程类似于数学建模的过程，它贯穿于解析几何的始终，通过本课例题与变式，要总结规律，掌握方法，为后面圆锥曲线等的轨迹探求提供示范.

　数学的 文化 价值

　解析几何的发明是变量数学的第一个里程碑，也是近代数学崛起的两大标志之一，是较为完整和典型的重大数学创新史例.解析几何创始人特别是笛卡儿的 事迹 和精神——对科学真理和方法的追求、质疑的科学精神等都是富有启发性和激励性的教育材料.可以根据学生实际情况，条件允许时指导学生课后收集相关资料，通过分析、整理，写出研究 报告 .

　3.学情分析

　我所授课班级的学生数学基础比较好，思维活跃，在刚刚学习了“曲线的方程和方程的曲线”后，学生对这种必须同时具备纯粹性和完备性的概念有了初步的认识，对用代数方法研究几何问题的科学性、准确性和优越性等已有了初步了解，对具体(平面)图形与方程间能否对应、怎样对应的学习已经有了自然的求知欲望.

　二、目标分析

　1.教学目标

　知识技能目标

　理解坐标法的作用及意义.

　掌握求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件，选择适当坐标系求曲线方程.

　过程性目标

　通过学生积极参与，亲身经历曲线方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，渗透数形结合的数学思想.

　通过自主探索、合作交流，学生历经从“特殊——一般——特殊”的认知模式，完善认知结构.

　通过层层深入，培养学生 发散思维 的能力，深化对求曲线方程本质的理解.

　情感、态度与价值观目标

　通过合作学习，学生间、师生间的相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，逐步养成质疑的科学精神.

　展现人文数学精神，体现数学文化价值及其在在社会进步、人类文明发展中的重要作用.

　2.教学重点和难点

　重点：求曲线方程的方法、步骤

　难点：几何条件的代数化

　依据：求曲线方程是解几研究的两大类问题之一，既是重点也是难点，是高考解答题取材的源泉.主要包括两种类型求曲线的方程：一是已知曲线形状时常用待定系数法;二是动点轨迹方程探求，本课的重点主要是探索动点的曲线方程.

　曲线与方程是贯穿平面解几的知识，是解析几何的核心.求曲线方程是几何问题得以代数研究的先决，求曲线方程的过程类似数学建模的过程，是课堂上必须突破的难点.

　三、教学方法及教材处理

　1.教学方法：探究发现教学法.

　遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，通过学生主动探索、积极参与、共同交流与协作，在教师的引导和合作下，学生“跳一跳”就能摘得果实，于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展，通过不断探究、发现，让学习过程成为心灵愉悦的主动认知过程，使师生的生命活力在课堂上得到充分的发挥.

　2.学法指导

　学生学法：互相讨论、探索发现

　由于学生在尝试问题解决的过程中常会在新旧知识联系、策略选择、思想方法运用等方面遇到一定的困难，需要教师指导.作为学生活动的组织者、引导者、参与者，教师要帮助学生重温与问题解决有关的旧知，给予学生思考的时间和表达的机会，共同对(解题)过程进行反思等，在师生(生生)互动中，给予学生启发和鼓励，在心理上、认知上予以帮助.

　这样，在学法上确立的教法，能帮助学生更好地获得完整的认知结构，使学生思维、能力等得到和谐发展.

　3.设计理念：

　求曲线方程就是将曲线上点的几何表示形式转化为代数表示形式。在这转化过程中，学生通过积极参与、勇于探索的学习方式，让学生的学习过程成为教师指导下的再创造，这也正是建构主义理论的本质要求;遵循学生认知规律，尊重学生个体差异，立足教材，通过对例题的再创造，体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，让不同层次的学生得到不同层度的发展;通过激发兴趣，强调自主探索与合作交流，让学生逐步地从学会走向会学，由被动走向主动，由课堂走向社会，为学生的终身学习和终身发展奠定良好的基础，也是当前新课程所追求的基本理念.

　四、教学过程(教学设计)

　根据本课教学内容几何特性外化的特点，抓住形成轨迹的动点具备的几何条件，运用坐标化的手段及等价转化与数形结合的思想方法，突破难点，突出重点.本课的教学设计思路是：

　创设情景——从感性的轨迹(图形)认识，到解决生活上的实例，激发学生的求知欲望，抓住学生迫切一试的认知心理，自然引入坐标法的意义及曲线方程的求法.

　例题探求——例题一体现知识的承前启后.通过例题一的呈现，学生借助已有的知识经验，自主探求获得问题的求解，在教师的引导下，让学生感受求曲线方程的含义及求解步骤;例题二及变式解决建系难点，建系的开放性，对学生是一种挑战，也是一种创造;两个例题由浅入深，循序渐进，体现因材施教.至此，学生已能初步了解求曲线方程的一般方法和步骤了.

　归纳步骤——学生亲身经历求曲线方程的过程，让学生归纳(用自己的语言)、表述求解的步骤，体现从“特殊——一般”认知规律，逐步实现教学目标.

　变式练习——通过对例题的变式，由学生求解、回答变式后的含义，深化对认知结构的理解，初步体会数学的理性与严谨，逐步养成质疑与反思的习惯.

　反馈练习——利用学生探索而发展来的认知水平，运用获得的知识解决情景创设中的实际问题，一方面可以考察学生运用所学数学知识解决实际问题的意识和能力;另一方面是学生思维的自然顺应，自然释放，是“一般——特殊”的过程.全面完成教学目标.

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高中数学必修5《不等关系与不等式》教案一

　整体设计

　教学分析

　本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.

　通过本节课的学习， 让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.

　在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.

　在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上 点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.

　三维目标

　1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.

　2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.

　3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.

　重点难点

　教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.

　教学难点：准确比较两个代数式的大小.

　课时安排

　1课时

　教学过程

　导入新课

　思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入?横看成岭侧成峰，远近高低各不同?的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.

　思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学 生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.

　推进新课

　新知探究

　提出问题

　?1?回忆初中学过的不等式，让学生说出?不等关系?与?不等式?的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?

　?2?在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?

　?3?数轴上的任意两 点与对应的两实数具有怎样的关系?

　?4?任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?

　活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确?不等关系?与?不等式?的异同.不等关系强调的是关系，可用符号?>?<?表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用?a>b?a

　教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.

　实例1：某天的天气预报报道，最高气温32 ℃，最低气温26 ℃.

　实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA

　实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.

　实例4：两点之间线段最短.

　实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

　实例6：限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.

　实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.

　教师进一步点拨：能够发现身 边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x?6，a+2?0,3?4,0?5等.

　教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26 ℃?t?32 ℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x?0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.

　|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

　|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.

　实例6，若用v表示速度，则v?40 km/h.实例7，f?2.5%，p?2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f?2.5%或p?2.3%，这是不对的.但可表示为f?2.5%且p?2.3%.

　对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.

　讨论结果：

　(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.

　(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a

　应用示例

　例1(教材本节例1和例2)

　活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.

　点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.

　变式训练

　1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是(　　)

　A.f(x)>g(x)　　　　　　 B.f(x)=g(x)

　C.f(x)

　答案：A

　解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1?1>0，?f(x)>g(x).

　2.已知x?0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.

　解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

　∵x?0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.

　例2比较下列各组数的大小(a?b).

　(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);

　(2)a4-b4与4a3(a-b).

　活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.

　解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=?a+b?2-4ab2?a+b?=?a-b?22?a+b?.

　∵a>0，b>0且a?b，?a+b>0，(a-b)2>0.?a-b?22?a+b?>0，即a+b2>21a+1b.

　(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

　=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

　=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

　∵2a2+(a+b)2?0(当且仅当a=b=0时取等号)，

　又a?b，?(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.?-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.

　?a4-b4<4a3(a-b).

　点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差?变形?判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将?差?变为?积?，后者将?差?化为一个或几个完全平方式的?和?，也可两者并用.

　变式训练

　已知x>y，且y?0，比较xy与1的大小.

　活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.

　解：xy-1=x-yy.

　∵x>y，?x-y>0.

　当y<0时，x-yy<0，即xy-1<0. ?xy<1;

　当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.?xy>1.

　点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.

　例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积， 住宅的光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.

　活动：解题关键首先是把文 字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，用作差法.

　解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a

　由于a+mb+m-ab=m?b-a?b?b+m?>0，于是a+mb+m>ab.又ab?10%，

　因此a+mb+m>ab?10%.

　所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的光条件变好了.

　点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.

　变式训练

　已知a1，a2，?为各项都大于零的等比数列，公比q?1，则(　　)

　A.a1+a8>a4+a5　　　　　　　 B.a1+a8

　C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8与a4+a5大小不确定

　答案：A

　解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

　=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

　∵{an}各项都大于零，?q>0，即1+q>0.

　又∵q?1，?(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.

　知能训练

　1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为(　　)

　A.3 B.2 C.1 D.0

　2.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.

　答案：

　1.C　解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2?0，

　③x2+y2-2xy=(x-y)2?0.

　?只有①恒成立.

　2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，

　所以2x2+5x+9>x2+5x+6.

　课堂小结

　1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.

　2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.

　作业

　习题3?1A组3;习题3?1B组2.

　设计感想

　1.本节设计关注了教学方法 的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学 过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.

　2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历 来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.

　3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.

　备课资料

　备用习题

　1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.

　2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.

　3.已知x>0，求证：1+x2>1+x .

　4.若x

　5.设a>0，b>0，且a?b，试比较aabb与abba的大小.

　参考答案：

　1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)

　=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)

　=1>0，

　?(x-3)2>(x-2)(x-4).

　2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)

　=m2-2m+5+2m-5

　=m2.

　∵m2?0，?(m2-2m+5)-(-2m+5)?0.

　?m2-2m+5?-2m+5.

　(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)

　=a2-4a+3+4a-1

　=a2+2.

　∵a2?0，?a2+2?2>0.

　?a2-4a+3>-4a+1.

　3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2

　=1+x+x24-(x+1)

　=x24，

　又∵x>0，?x24>0.

　?(1+x2)2>(1+x)2.

　由x>0，得1+x2>1+x.

　4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

　=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

　=-2xy(x-y).

　∵x0，x-y<0.

　?-2xy(x-y)>0.

　?(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

　5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a?b，

　当a>b>0时，ab>1，a-b>0，

　则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.

　当b>a>0时，0

　则(ab)a-b>1.

　于是aabb>abb a.

　综上所述，对于不 相等的正数a、b，都有aabb>abba.

　高中数学必修5《不等关系与不等式》教案二

　教学准备

　教学目标

　熟练掌握不等式的证明问题

　教学重难点

　熟练掌握不等式的证明问题

　教学过程

　不等式的证明二

　基础训练

　1.若，，则下列不等始终正确的是( )

　2.设a，b为实数，且，则的最小值是( )

　4.求证：对任何式数x，y，z，下述三个不等式不可能同时成立

高中数学教案教学设计

　备课教案要怎么写，很多学校老师努力编写教案为了学生们的教学任务，那么在这里我给大家整理“高中数学备课教案模板范文大全(精选5篇)”需要的朋友就来看看吧!

篇一：高中数学备课教案模板

　一、预习目标

　预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。

　二、预习内容

　阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。另外，在思考一下几个问题：

　1、例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗?

　2、利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么?

　3、例3中，

　⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少?

　⑵|F1|能等于|G|吗?为什么?

　三、提出疑惑

　同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容。

　课内探究学案

　一、学习内容

　1、运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题。

　2、运用向量的有关知识解决简单的物理问题。

　二、学习过程

　探究一：

　(1)向量运算与几何中的结论"若，则，且所在直线平行或重合"相类比，你有什么体会?

　(2)举出几个具有线性运算的几何实例。

　例1、证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。

　已知：平行四边形ABCD。

　求证：

　试用几何方法解决这个问题，利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”?

　(1)建立平面几何与向量的联系，

　(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，

　(3)把运算结果“翻译”成几何关系。

　例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?

　探究二：两个人提一个旅行包，夹角越大越费力。在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力。这些力的问题是怎么回事?

　例3，在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。你能从数学的角度解释这种现象吗?

　请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：

　⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少?

　⑵|F1|能等于|G|吗?为什么?

　例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0。1min)?

　变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，(1)写出此时粒子B相对粒子A的位移s;(2)计算s在方向上的投影。

　三、反思总结

　结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题。

　代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。

　本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题;掌握向量法和坐标法，以及用向量解决实际问题的步骤。

篇二：高中数学备课教案模板

　内容分析：

　1、 集合是中学数学的一个重要的基本概念

　在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题。例如，在代数中用到的有数集、解集等;在几何中用到的有点集。至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础。

　把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础

　例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑。

　本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明

　然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子。

　这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念

　学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义

　本节课的教学重点是集合的基本概念。

　集合是集合论中的原始的、不定义的概念

　在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识

　教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集

　”这句话，只是对集合概念的描述性说明。

　教学过程：

　一、复习引入：

　1.简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数;

　2.教材中的章头引言;

　3.集合论的创始人——康托尔(德国数学家)(见附录);

　4.“物以类聚”，“人以群分”;

　5.教材中例子(P4)。

　二、讲解新课：

　阅读教材第一部分，问题如下：

　(1)有那些概念?是如何定义的?

　(2)有那些符号?是如何表示的?

　(3)集合中元素的特性是什么?

　(一)集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.

　定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合.

　1、集合的概念

　(1)集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合(简称集)

　(2)元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素

　2、常用数集及记法

　(1)非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合，记作N，N={0,1,2,…}

　(2)正整数集：非负整数集内排除0的集，记作N*或N+，N*={1,2,3,…}

　(3)整数集：全体整数的集合，记作Z ,Z={0,±1,±2,…}

　(4)有理数集：全体有理数的集合，记作Q，Q={整数与分数}

　(5)实数集：全体实数的集合，记作R，R={数轴上所有点所对应的数}

　注：(1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0

　(2)非负整数集内排除0的集，记作N*或N+

　Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*

　3、元素对于集合的隶属关系

　(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

　(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA

　4、集合中元素的特性

　(1)确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可

　(2)互异性：集合中的元素没有重复

　(3)无序性：集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)

　5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

　元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

　⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。

篇三：高中数学备课教案模板

　教学目标：

　1.了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数;了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

　2.通过建立复平面上的点与复数的一一对应关系，自主探索复数加减法的几何意义.

　教学重点：

　复数的几何意义，复数加减法的几何意义.

　教学难点：

　复数加减法的几何意义.

　教学过程：

　一 、问题情境

　我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示.那么，复数是否也能用点来表示呢?

　二、学生活动

　问题1 任何一个复数a+bi都可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，而有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么我们怎样用平面上的点来表示复数呢?

　问题2 平面直角坐标系中的点A与以原点O为起点，A为终点的向量是一一对应的，那么复数能用平面向量表示吗?

　问题3 任何一个实数都有绝对值，它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离.任何一个向量都有模，它表示向量的长度，那么相应的，我们可以给出复数的模(绝对值)的概念吗?它又有什么几何意义呢?

　问题4 复数可以用复平面的向量来表示，那么，复数的加减法有什么几何意义呢?它能像向量加减法一样，用作图的方法得到吗?两个复数差的模有什么几何意义?

　三、建构数学

　1.复数的几何意义：在平面直角坐标系中，以复数a+bi的实部a为横坐标，虚部b为纵坐标就确定了点Z(a，b)，我们可以用点Z(a，b)来表示复数a+bi，这就是复数的几何意义.

　2.复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面.其中x轴为实轴，y轴为虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

　3.因为复平面上的点Z(a，b)与以原点O为起点、Z为终点的向量一一对应，所以我们也可以用向量来表示复数z=a+bi，这也是复数的几何意义.

　4.复数加减法的几何意义可由向量加减法的平行四边形法则得到，两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.同时，复数加减法的法则与平面向量加减法的坐标形式也是完全一致的。

篇四：高中数学备课教案模板

　一、教学内容分析

　圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,再一次强调定义,学会利用圆锥曲线定义来熟练的解题”。

　二、学生学习情况分析

　我所任教班级的学生参与课堂教学活动的积极性强，思维活跃，但计算能力较差，推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。

　三、设计思想

　由于这部分知识较为抽象,如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率.

　四、教学目标

　1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题;熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法;能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。

　2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，提高分析、解决问题的能力;通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法。

　3.借助多媒体教学,激发学习数学的兴趣.

　五、教学重点与难点:

　教学重点

　1.对圆锥曲线定义的理解

　2.利用圆锥曲线的定义求“最值”

　3.“定义法”求轨迹方程

　教学难点:

　巧用圆锥曲线定义解题

篇五：高中数学备课教案模板

　一、教学目标

　1.知识与技能

　(1)掌握画三视图的基本技能

　(2)丰富学生的空间想象力

　2.过程与方法

　主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

　3.情感态度与价值观

　(1)提高学生空间想象力

　(2)体会三视图的作用

　二、教学重点、难点

　重点：画出简单组合体的三视图

　难点：识别三视图所表示的空间几何体

　三、学法与教学用具

　1.学法：观察、动手实践、讨论、类比

　2.教学用具：实物模型、三角板

　四、教学思路

　(一)创设情景，揭开课题

　“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。

　在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图(正视图、侧视图、俯视图)，你能画出空间几何体的三视图吗?

　(二)实践动手作图

　1.讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨论;

　2.教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图

　(1)画出球放在长方体上的三视图

　(2)画出矿泉水瓶(实物放在桌面上)的三视图

　学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结自己的作图心得。

　作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。

　3.三视图与几何体之间的相互转化。

　(1)投影出示(课本P10，图1.2-3)

　请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么?

　(2)你能画出圆台的三视图吗?

　(3)三视图对于认识空间几何体有何作用?你有何体会?

　教师巡视指导，解答学生在学习中遇到的困难，然后让学生发表对上述问题的看法。

　4.请同学们画出1.2-4中其他物体表示的空间几何体的三视图，并与其他同学交流。

　(三)巩固练习

　课本P12练习1、2

　P18习题1.2A组1

　(四)归纳整理

　请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图

　(五)课外练习

　1.自己动手制作一个底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。

　2.自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的三视图。

高中数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》教案

　人生要敢于理解挑战，经受得起挑战的人才能够领悟人生非凡的真谛，才能够实现自我无限的超越，才能够创造魅力永恒的价值。接下来是我为大家整理的高中数学教案教学设计，希望大家喜欢!

　 高中数学教案教学设计一

　函数单调性与奇偶性

　教学目标

　1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本 方法 .

　(1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念.

　(2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性.

　(3)能借助图象判断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.

　2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想.

　3.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度.

　教学建议

　一、知识结构

　(1)函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.

　(2)函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.

　二、重点难点分析

　(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性, 奇偶性的本质,掌握单调性的证明.

　(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.

　三、教法建议

　(1)函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的认识就可以融入其中,将概念的形成与认识结合起来.

　(2)函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步骤去做,就必须让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生 总结 规律.

　函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以

　\

　的图象为例,让自变量互为相反数,观察对应的函数值的变化规律,先从具体数值

　\

　开始,逐渐让

　\

　在数轴上动起来,观察任意性,再让学生把看到的用数学表达式写出来.经历了这样的过程,再得到等式

　\

　时,就比较容易体会它代表的是无数多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发现定义域的对称性,同时还可以借助图象(如

　\

　)说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.

　 高中数学教案教学设计二

　高中数学第一册(上)1.1集合(一)教学案例教学目标：1、理解集合、集合的元素的概念;2、了解集合的元素的三个特性;3、记忆常用数集的表示;4、会判断元素与集合的关系，

　集合(一)教学案例

　。教学重点:1、集合的概念;2、集合的元素的三个特征性质教学难点:1、集合的元素的三个特性;2、数集与数集的关系课前准备:1、教具准备：多媒体制作数学家康托介绍，包括头像、生平、对数学发展所作的贡献;本节课所需的例题、图形等。2、布置学生预习1.1集合.教学设计：一、[创设情境]多媒体展示激发兴趣：为科学而疯的人——康托托康(Contor,Georg)(1845-1918)，俄罗斯—德国数学家、19世纪数学伟大成就之一—集合论的创立人。康托生於俄国圣彼得堡，父母亲是丹_，父亲出生於丹_都哥本哈根，是一个富裕的商人，他的母亲玛丽具有艺术家血统，他父母亲年轻时移居到俄国圣彼得堡，康托就出生在那里，康托是家中长子，并於1856年全家移居到德国法兰克福，也因为康托多次改变国籍，许多国家都认为康托的成就都是它们培养出来的。康托自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。1874年康托的有关无穷的概念，震撼了知识界。康托凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质新的思想模式，建立了处理数学中的无限的基本技巧，从而极大地推动了分析与逻辑的发展。他研究数论和用三角函数地表示函数等问题，发现了惊人的结果：证明有理数是可列的，而全体实数是不可列的。由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而取退避三舍的态度。在1874—1876年期间，不到30岁的康托向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托对这类“无穷集合”问题发表了一系列 文章 ，通过严格证明得出了许多惊人的结论。康托的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托的集合论是一种“疾病”，康托的概念是“雾中之雾”，甚至说康托是“疯子”.来自数学_的巨大精神压力终于摧垮了康托，使他心力交瘁，患了精神_，被送进医院.他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在发作的间歇时期获得的.真金不怕火炼，康托的思想终于大放光彩。18年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托的工作“可能是这个代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托在一家院去世。今天，我们将学习高中数学第一章集合与简易逻辑的1.1集合(一)，让我们回顾一下初中涉及到集合的有关知识。二、[复习旧知识]复习提问：1.在初中，我们学过哪些集合?实数集、二元一次方程的解集、不等式(组)的解集、点的集合等。2.在初中，我们用集合描述过什么?角平分线、线段的垂直平分线、圆、圆的内部、圆的外部等。

　实数有理数无理数整数分数正无理数负无理数正分数负分数负整数自然数正整数零3.实数的分类3、实数的分类：

　实数正实数负实数零

　4、以下由学生完成：(1)、把下列各数填入相应的圈内

　0、、2.5、、、-6、、8%、19

　整数集合分数集合无理数集合

　(2).把下列各数填入相应的大括号内1、-10、、、-2、3.6、、—0.1、8、负有理数集合：{}

　整数集合：{}

　正实数集：{}

　无理数集：{}

　3.解不等式组(1)2x-3〈5

　4.绝对值小于3的整数是—————————————————三、[学习互动]1、观察下列对象(1)2，4，6，8，10，12;(2)所有的直角三角形;(3)与一个角的两边距离相等的点;(4)满足x-3>2的全体实数;(5)本班全体男生;(6)我国古代四明;(7)2007年本省高考考试科目;(8)2008年奥运会的球类项目，

　《集合(一)教学案例》通过学生观察以上对象后，教师提问：[集合的概念](1)集合是什么?某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。(2)什么是集合的元素?集合中的每个对象叫做这个集合的元素。(3)集合、集合的元素怎样表示?一般用大括号表示集合且常用大写字母表示;集合中的元素用小写字母表示。(4)集合中的元素与集合的关系a是集合A的元素，称a属于A，记作a∈A;a不是集合A的元素，称a不属于A，记作aA。2、探讨下列问题(1){1，2，2，3}是含有1个1、2个2、1个3的集合吗?(2)的科学家能构成一个集合吗?(3){a，b，c，d}与{b，c，d，a}是否表同一个集合?通过师生共同探讨得出下面结论：通过师生共同探讨得出结论：[集合中的元素的性质]确定性：集合中的元素必须是确定的。集合的元素的特点互异性：集合中的元素必须是互异的。无序性：集合中的元素是无先后顺序的。组成集合的元素可以是：数、图、人、事物等。[常用数集的表示](1)自然数集：用N表示(2)正整数集：用N﹡或N+表示(3)整数集：用Z表示(4)有理数集：用Q表示(5)实数集：用R表示(正实数集用R_R+表示)四、[四、[互动参与]例1下面的各组对象能否构成集合是()(A)所有的好人(B)小于2004的实数(C)和2004非常接近的数(D)方程x2-3x+2=0的根例2用符号填空(1)3.14Q(2)πQ(3)0N+(4)0N

　32(5)(-2)0N_6)Q

　3232(7)Z(8)—R

　五、[分层议练]1、选择题(1)下列不能形成集合的是()A、所有三角形B、《 高一数学 》中的所有难题C、大于π的整数D、所以的无理数2、判断正误(1){x2,3x+2,5x3-x｝={5x3-x,x2,3x+2｝()(2)若4x=3,则xN()(3)若xQ,则xR()(4)若xN,则xN+()

　常用数集属于a∈AN、N_或N+)、Z、Q、R。集合集合的概念元素与集合的关系集合中元素的性质确定性互异性无序性不属于aA

　本节课设计的目的：通过创设情境激发学生的学习兴趣， 课前预习 培养学生的自学能力;多媒体教学提高课堂效益，使教学呈现方式多样化;探索现代教学手段与高中数学教学的整合。

　 高中数学教案教学设计三

　集合的概念

　教学目的：

　(1)使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法

　(2)使学生初步了解“属于”关系的意义

　(3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

　教学重点：集合的基本概念及表示方法

　教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示

　一些简单的集合

　授课类型：新授课

　课时安排：1课时

　教具：多媒体、实物投影仪

　内容分析：

　1.集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等;在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础

　把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑

　本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子

　这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念

　集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明

　教学过程：

　一、复习引入：

　1.简介数集的发展，复习公约数和最小公倍数，质数与和数;

　2.教材中的章头引言;

　3.集合论的创始人——康托尔(德国数学家)(见附录);

　4.“物以类聚”，“人以群分”;

　5.教材中例子(P4)

　二、讲解新课：

　阅读教材第一部分，问题如下：

　(1)有那些概念?是如何定义的?

　(2)有那些符号?是如何表示的?

　(3)集合中元素的特性是什么?

　(一)集合的有关概念：

　由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.

　定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合.

　1、集合的概念

　(1)集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合(简称集)

　(2)元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素

　2、常用数集及记法

　(1)非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合记作N，

　(2)正整数集：非负整数集内排除0的集记作N_N+

　(3)整数集：全体整数的集合记作Z,

　(4)有理数集：全体有理数的集合记作Q,

　(5)实数集：全体实数的集合记作R

　注：(1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括

　数0

　(2)非负整数集内排除0的集记作N_N+Q、Z、R等 其它

　数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0

　的集，表示成Z

_

3、元素对于集合的隶属关系

　(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

　(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作

　4、集合中元素的特性

　(1)确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，

　或者不在，不能模棱两可

　(2)互异性：集合中的元素没有重复

　(3)无序性：集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)

　5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

　元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

　⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写

　三、练习题：

　1、教材P5练习1、2

　2、下列各组对象能确定一个集合吗?

　(1)所有很大的实数(不确定)

　(2)好心的人(不确定)

　(3)1，2，2，3，4，5.(有重复)

　3、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__

　4、由实数x,-x,|x|,所组成的集合，最多含(A)

　(A)2个元素(B)3个元素(C)4个元素(D)5个元素

　5、设集合G中的元素是所有形如a+b(a∈Z,b∈Z)的数，求证：

　(1)当x∈N时,x∈G;

　(2)若x∈G，y∈G，则x+y∈G，而不一定属于集合G

　证明(1)：在a+b(a∈Z,b∈Z)中，令a=x∈N,b=0,

　则x=x+0_a+b∈G,即x∈G

　证明(2)：∵x∈G，y∈G，

　∴x=a+b(a∈Z,b∈Z),y=c+d(c∈Z,d∈Z)

　∴x+y=(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)

　∵a∈Z,b∈Z,c∈Z,d∈Z

　∴(a+c)∈Z,(b+d)∈Z

　∴x+y=(a+c)+(b+d)∈G，

　又∵=

　且不一定都是整数，

　∴=不一定属于集合G

　四、小结：本节课学习了以下内容：

　1.集合的有关概念：(集合、元素、属于、不属于)

　2.集合元素的性质：确定性，互异性，无序性

　3.常用数集的定义及记法

　五、课后作业：

　六、板书设计(略)

　七、课后记：

高中数学优秀教案之《等差数列》

高中数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》教案

　共1课时

　1教学目标

　一、知识与技能：1、理解并掌握直线与平面平行的性质定理;

　2、引导学生探究线面平行的问题可以转化为线线平行的问题，从而能够通过化归解决有关问题，进一步体会数学转化的思想。

　二、过程与方法：通过直观观察、猜想研究线面平行的性质定理，培养学生的自主学习能力，发展学生的合情推理能力及逻辑论证能力。

　三、情感、态度与价值观：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学转化过程中激发学生的学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。

　2重点难点

　教学重点:线与面平行的性质定理及其应用。

　教学难点:线与面的性质定理的应用。

　3教学过程 3.1 第一学时 教学活动 活动1导入问题引入

　一、问题引入

　木工小刘在处理如图所示的一块木料，已知木料的棱BC∥平面A?C?.现在小刘要经过平面A?C?内一点P和棱BC将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗?

　预设：(1)过P作一条直线平行于B?C?;

　(2)过P作一条直线平行与BC。

　(问题引入的目的在于激起学生对于这堂课的兴趣，带着问题学习目的性更强，效果也会更好。)

　活动2讲授新课讲授

　二、知识回顾

　判定一条直线与一个平面平行的方法：

　1、定义法：直线与平面没有公共点。

　2、判定定理法：平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。(线线平行?线面平行)

　三、知识探究(一)

　思考一：如果直线a与平面?平行，那么直线a与平面?内的直线有哪些位置关系?

　答：平行或异面。

　思考2：若直线a与平面?平行，那么在平面?内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?

　答：无数条;平行。

　思考3：如果直线a与平面?平行，经过直线a的平面?与平面?相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何?为什么?

　答：平行;因为a∥?，所以a与?没有公共点，则a与b没有公共点，又a与b在同一平面?内，所以a与b平行。

　思考4：综上分析，在直线a与平面?平行的条件下我们可以得到什么结论?

　答：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

　(四个思考题的目的在于引导学生探究直线与平面平行的性质定理。)

　四、知识探究(二)

　定理：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

　定理可简述为：线面平行，则线线平行。

　直线与平面平行的性质定理的符号表示：

　(由图形语言到文字语言，再到符号语言，一步一步深化学生对该定理的理解)

　活动3练习课堂练习

　五、应用示例

　练习1：判断下列命题是否正确，正确的画，错误的画。

　(1)如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面。 ( ? )

　(2)如果直线a和平面?满足a∥?，那么a与?内的任何直线平行。 ( ? )

　(3)如果直线a，b和平面?满足a ∥?，b ∥?，那么a ∥b。 ( ? )

　例3 如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A?C?.

　(1)要经过面A?C? 内一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线?

　(2)所画的线与平面AC是什么位置关系?

　分析：经过木料表明A?C?内的一点P和棱BC将木料锯开，实际上是经过BC及BC外一点P做截面，也就是找出平面与平面的交线。我们可以由直线与平面平行的性质定理和公理2、公理4作出。

　练习2：如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，求证：FG∥BD.

　活动4讲授课堂小结

　六、课堂小结

　1、直线与平面平行的判定定理

　(1)定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。

　(2)线线平行?线面平行

　2、直线与平面平行的性质定理

　(1)定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

　(2)线面平行?线线平行

　(课堂总结从文字语言、图形语言、符号语言三方面强调总结两个定理。)

　活动5作业课后作业

　P61练习，习题2.2A组：1，2. (做在书上)

　P62习题2.2A组：5，6.

　2.2直线、平面平行的判定及其性质

　课时设计 课堂实录

　2.2直线、平面平行的判定及其性质

　1第一学时 教学活动 活动1导入问题引入

　一、问题引入

　木工小刘在处理如图所示的一块木料，已知木料的棱BC∥平面A?C?.现在小刘要经过平面A?C?内一点P和棱BC将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗?

　预设：(1)过P作一条直线平行于B?C?;

　(2)过P作一条直线平行与BC。

　(问题引入的目的在于激起学生对于这堂课的兴趣，带着问题学习目的性更强，效果也会更好。)

　活动2讲授新课讲授

　二、知识回顾

　判定一条直线与一个平面平行的方法：

　1、定义法：直线与平面没有公共点。

　2、判定定理法：平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。(线线平行?线面平行)

　三、知识探究(一)

　思考一：如果直线a与平面?平行，那么直线a与平面?内的直线有哪些位置关系?

　答：平行或异面。

　思考2：若直线a与平面?平行，那么在平面?内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?

　答：无数条;平行。

　思考3：如果直线a与平面?平行，经过直线a的平面?与平面?相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何?为什么?

　答：平行;因为a∥?，所以a与?没有公共点，则a与b没有公共点，又a与b在同一平面?内，所以a与b平行。

　思考4：综上分析，在直线a与平面?平行的条件下我们可以得到什么结论?

　答：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

　(四个思考题的目的在于引导学生探究直线与平面平行的性质定理。)

　四、知识探究(二)

　定理：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

　定理可简述为：线面平行，则线线平行。

　直线与平面平行的性质定理的符号表示：

　(由图形语言到文字语言，再到符号语言，一步一步深化学生对该定理的理解)

　活动3练习课堂练习

　五、应用示例

　练习1：判断下列命题是否正确，正确的画，错误的画。

　(1)如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面。 ( ? )

　(2)如果直线a和平面?满足a∥?，那么a与?内的任何直线平行。 ( ? )

　(3)如果直线a，b和平面?满足a ∥?，b ∥?，那么a ∥b。 ( ? )

　例3 如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A?C?.

　(1)要经过面A?C? 内一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线?

　(2)所画的线与平面AC是什么位置关系?

　分析：经过木料表明A?C?内的一点P和棱BC将木料锯开，实际上是经过BC及BC外一点P做截面，也就是找出平面与平面的交线。我们可以由直线与平面平行的性质定理和公理2、公理4作出。

　练习2：如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，求证：FG∥BD.

　活动4讲授课堂小结

　六、课堂小结

　1、直线与平面平行的判定定理

　(1)定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。

　(2)线线平行?线面平行

　2、直线与平面平行的性质定理

　(1)定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

　(2)线面平行?线线平行

　(课堂总结从文字语言、图形语言、符号语言三方面强调总结两个定理。)

　活动5作业课后作业

　P61练习，习题2.2A组：1，2. (做在书上)

　P62习题2.2A组：5，6.

人教版高一数学教案三篇

　引导语：编写教案是开展教学研究、提高教学研究能力的过程，教学过程从某种意义上讲是通过教案中的方式把以教材为主体的知识传授给学生并达到培养能力、发展智力的目的。以下是高中数学优秀教案之《等差数列》，供老师们参考学习：

　教学目标

　1.理解的概念，掌握的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.

　(1)了解公差的概念，明确一个数列是的限定条件，能根据定义判断一个数列是，了解等差中项的概念;

　(2)正确认识使用的各种表示法，能灵活运用通项公式求的首项、公差、项数、指定的项;

　(3)能通过通项公式与图像认识的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.

　2.通过的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过通项公式的运用，渗透方程思想.

　3.通过概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识;通过对的研究，使学生明确与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.

　关于的教学建议

　(1)知识结构

　(2)重点、难点分析

　①教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用，是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.

　②通过不完全归纳法得出的通项公式，所以是教学中的一个难点;另外， 出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的.灵活运用是教学的有一难点.

　(3)教法建议

　①本节内容分为两课时，一节为的定义与表示法，一节为通项公式的应用.

　②定义的引出可先给出几组，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：的数列叫做?，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备.如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义.

　③的定义归纳出来后，由学生举一些的例子，以此让学生思考确定一个的条件.

　④由学生根据一般数列的表示法尝试表示，前提条件是已知数列的首项与公差.明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律;再看通项公式，项 可看作项数 的一次型( )函数，这与其图像的形状相对应.

　⑤有穷的末项与通项是有区别的，数列的通项公式 是数列第 项 与项数 之间的函数关系式，有穷的项数未必是 ，即其末项未必是该数列的第 项，在教学中一定要强调这一点.

　⑥前 项和的公式推导离不开的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质;另外可让学生研究的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣.

　⑦是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境.

　通项公式的教学设计示例

　教学目标

　1.通过教与学的互动，使学生加深对通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题;

　2.利用通项公式求的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想;

　3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.

　教学重点，难点

　教学重点是通项公式的认识;教学难点 是对公式的灵活运用.

　教学用具

　实物投影仪，多媒体软件，电脑.

高中数学必修5《等比数列》教案

#高一# 导语仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;俯视大地时，什么都比你低，你会自负;只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，才能在苍穹沃土之间找到你真正的位置。无需自卑，不要自负，坚持自信。 高一频道为你整理了《人教版高一数学教案三篇》希望你对你的学习有所帮助！

　一

　一、教材分析

　(一)地位与作用

　数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。

　(二)学情分析

　(1)学生已熟练掌握_________________。

　(2)学生的知识经验较为丰富，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力。

　(3)学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。

　(4)学生层次参次不齐，个体差异比较明显。

　二、目标分析

　新课标指出“三维目标”是一个密切联系的有机整体，应该以获得知识与技能的过程，同时成为学会学习和正确价值观。这要求我们在教学中以知识技能的培养为主线，透情感态度与价值观，并把这两者充分体现在教学过程中，新课标指出教学的主体是学生，因此目标的制定和设计必须从学生的角度出发，根据____在教材内容中的地位与作用，结合学情分析，本节课教学应实现如下教学目标：

　(一)教学目标

　(1)知识与技能

　使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法;。

　(2)过程与方法

　引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念;能运用函数单调性概念解决简单的问题;使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

　(3)情感态度与价值观

　在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

　(二)重点难点

　本节课的教学重点是________________________，教学难点是_____________________。

　三、教法、学法分析

　(一)教法

　基于本节课的内容特点和高二学生的年龄特征，按照临沂市高中数学“三五四”课堂教学策略，用探究――体验教学法为主来完成教学，为了实现本节课的教学目标，在教法上我取了：

　1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性.

　2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念.

　3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达.

　(二)学法

　在学法上我重视了：

　1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。

　2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。

　四、教学过程分析

　(一)教学过程设计

　教学是一个教师的“导”，学生的“学”以及教学过程中的“悟”构成的和谐整体。教师的“导”也就是教师启发、诱导、激励、评价等为学生的学习搭建支架，把学习的任务转移给学生，学生就是接受任务，探究问题、完成任务。如果在教学过程中把“教与学”完美的结合也就是以“问题”为核心，通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、解释和探究来组织和推动教学。

　(1)创设情境，提出问题。

　新课标指出：“应该让学生在具体生动的情境中学习数学”。在本节课的教学中，从我们熟悉的生活情境中提出问题，问题的设计改变了传统目的明确的设计方式，给学生的思考空间，充分体现学生主体地位。

　(2)引导探究，建构概念。

　数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要.但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过过程.

　(3)自我尝试，初步应用。

　有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此。让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究.

　(4)当堂训练，巩固深化。

　通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对知识识的再次深化。

　(5)小结归纳，回顾反思。

　小结归纳不仅是对知识的简单回顾，还要发挥学生的主体地位，从知识、方法、经验等方面进行总结。我设计了三个问题：(1)通过本节课的学习，你学到了哪些知识?(2)通过本节课的学习，你的体验是什么?(3)通过本节课的学习，你掌握了哪些技能?

　(二)作业设计

　作业分为必做题和选做题，必做题对本节课学生知识水平的反馈，选做题是对本节课内容的延伸与，注重知识的延伸与连贯，强调学以致用。通过作业设置，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成.

　二

　高中数学第一册(上)1.1集合(一)教学案例教学目标：1、理解集合、集合的元素的概念;2、了解集合的元素的三个特性;3、记忆常用数集的表示;4、会判断元素与集合的关系，

　集合(一)教学案例

　。教学重点:1、集合的概念;2、集合的元素的三个特征性质教学难点:1、集合的元素的三个特性;2、数集与数集的关系课前准备:1、教具准备：多媒体制作数学家康托介绍，包括头像、生平、对数学发展所作的贡献;本节课所需的例题、图形等。2、布置学生预习1.1集合.教学设计：一、[创设情境]多媒体展示激发兴趣：为科学而疯的人——康托托康(Contor,Georg)(1845-1918)，俄罗斯—德国数学家、19世纪数学伟大成就之一—集合论的创立人。康托生於俄国圣彼得堡，父母亲是丹*人，父亲出生於丹*首都哥本哈根，是一个富裕的商人，他的母亲玛丽具有艺术家血统，他父母亲年轻时移居到俄国圣彼得堡，康托就出生在那里，康托是家中长子，并於1856年全家移居到德国法兰克福，也因为康托多次改变国籍，许多国家都认为康托的成就都是它们培养出来的。康托自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。1874年康托的有关无穷的概念，震撼了知识界。康托凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质新的思想模式，建立了处理数学中的无限的基本技巧，从而极大地推动了分析与逻辑的发展。他研究数论和用三角函数地表示函数等问题，发现了惊人的结果：证明有理数是可列的，而全体实数是不可列的。由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而取退避三舍的态度。在1874—1876年期间，不到30岁的康托向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。康托的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托的集合论是一种“疾病”，康托的概念是“雾中之雾”，甚至说康托是“疯子”.来自数学*们的巨大精神压力终于摧垮了康托，使他心力交瘁，患了精神*症，被送进医院.他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在发作的间歇时期获得的.真金不怕火炼，康托的思想终于大放光彩。18年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托的工作“可能是这个代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托在一家院去世。今天，我们将学习高中数学第一章集合与简易逻辑的1.1集合(一)，让我们回顾一下初中涉及到集合的有关知识。二、[复习旧知识]复习提问：1.在初中，我们学过哪些集合?实数集、二元一次方程的解集、不等式(组)的解集、点的集合等。2.在初中，我们用集合描述过什么?角平分线、线段的垂直平分线、圆、圆的内部、圆的外部等。

　实数有理数无理数整数分数正无理数负无理数正分数负分数负整数自然数正整数零3.实数的分类3、实数的分类：

　实数正实数负实数零

　4、以下由学生完成：(1)、把下列各数填入相应的圈内

　0、、2.5、、、-6、、8%、19

　整数集合分数集合无理数集合

　(2).把下列各数填入相应的大括号内1、-10、、、-2、3.6、、—0.1、8、负有理数集合：{}

　整数集合：{}

　正实数集：{}

　无理数集：{}

　3.解不等式组(1)2x-3〈5

　4.绝对值小于3的整数是—————————————————三、[学习互动]1、观察下列对象(1)2，4，6，8，10，12;(2)所有的直角三角形;(3)与一个角的两边距离相等的点;(4)满足x-3>2的全体实数;(5)本班全体男生;(6)我国古代四明;(7)2007年本省高考考试科目;(8)2008年奥运会的球类项目，

　《集合(一)教学案例》通过学生观察以上对象后，教师提问：[集合的概念](1)集合是什么?某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。(2)什么是集合的元素?集合中的每个对象叫做这个集合的元素。(3)集合、集合的元素怎样表示?一般用大括号表示集合且常用大写字母表示;集合中的元素用小写字母表示。(4)集合中的元素与集合的关系a是集合A的元素，称a属于A，记作a∈A;a不是集合A的元素，称a不属于A，记作aA。2、探讨下列问题(1){1，2，2，3}是含有1个1、2个2、1个3的集合吗?(2)的科学家能构成一个集合吗?(3){a，b，c，d}与{b，c，d，a}是否表同一个集合?通过师生共同探讨得出下面结论：通过师生共同探讨得出结论：[集合中的元素的性质]确定性：集合中的元素必须是确定的。集合的元素的特点互异性：集合中的元素必须是互异的。无序性：集合中的元素是无先后顺序的。组成集合的元素可以是：数、图、人、事物等。[常用数集的表示](1)自然数集：用N表示(2)正整数集：用N﹡或N+表示(3)整数集：用Z表示(4)有理数集：用Q表示(5)实数集：用R表示(正实数集用R*或R+表示)四、[四、[互动参与]例1下面的各组对象能否构成集合是()(A)所有的好人(B)小于2004的实数(C)和2004非常接近的数(D)方程x2-3x+2=0的根例2用符号填空(1)3.14Q(2)πQ(3)0N+(4)0N

　32(5)(-2)0N*(6)Q

　3232(7)Z(8)—R

　五、[分层议练]1、选择题(1)下列不能形成集合的是()A、所有三角形B、《高一数学》中的所有难题C、大于π的整数D、所以的无理数2、判断正误(1){x2,3x+2,5x3-x｝={5x3-x,x2,3x+2｝()(2)若4x=3,则xN()(3)若xQ,则xR()(4)若xN,则xN+()

　常用数集属于a∈AN、N*(或N+)、Z、Q、R。集合集合的概念元素与集合的关系集合中元素的性质确定性互异性无序性不属于aA

　本节课设计的目的：通过创设情境激发学生的学习兴趣，课前预习培养学生的自学能力;多媒体教学提高课堂效益，使教学呈现方式多样化;探索现代教学手段与高中数学教学的整合。

　三

　一、激发学生兴趣，让学生产生学习的动力

　要想学好高中数学，激发浓厚的兴趣是最有效的手段。如何在数学学习中激发兴趣，应该从四方面来落实。一是重视数学基础知识教学。有的学生认为数学内容很抽象，都是一些数字符号，不容易理解，其实不然，数学知识是最基础的知识，是和我们的生活联系非常紧密的知识，数学就在我们的身边，我们的生活离不开数学。二是强化数学实践应用。许多学生对数学存在认识上的误区，认为学习数学没有多大的用处，事实上，数学知识就充斥在我们生活的每一个角落，与我们的生活是密不可分的。只是以前的数学教学与实践生活严重脱节，造成学生认为数学知识没有多大用处。新数学课程改革下，数学教材有了全新的改革和发展，重视数学的实践应用，使学生能够在数学学习中感受到数学的价值和魅力，从而热爱数学。三是引入数学实验教学。数学并不只是课堂上教师的讲解，还可以通过数学实验来激发学生的兴趣，让学生在实验教学中感受到数学的直观性，使学生以探究者的身份参与到数学知识的研究中，从而让学生在实验的过程中，获得成功的喜悦。四是让学生在攻克数学难关中获得积极情感。数学知识具有宝贵的价值，学生可以在发现和创造中获得积极的情感，数学之所以能够吸引更多的人去探索和创新，就是因为在数学学习中，可以获得成功的喜悦，激发学生的斗志。

　二、教给学生学习的方法，让学生懂得怎样学习

　我们常说：“授人与鱼，不如授人以渔。”这充分说明了教学中方法的重要性，在教育教学中，教师不仅是要教给学生知识，更重要的是教给学生学习的方法，它是学生获得知识的重要法宝，学生只有在掌握方法的情况下，才能学会自己去学习，从而获得知识。因此，在新课程改革下，我们不但要让学生“学会”，还要让学生“会学”。首先，要教给学生“读”的方法。有人认为，高中数学教学用不到“读”的方法。其实，数学教学和其他学科一样，同样离不开“读”的方法，学生只有在读的过程中才能理解数学问题所包含的内容，才会发现和归纳数学材料中所包含的深层次含义，使学生懂得抓住重点去思考问题，从而为学生理解数字知识奠定良好基础。其次，要引导学生“议”的思路。新的数学课程改革提出了合作、探究的学习方法，注重培养学生分析问题和解决问题的能力。因此，在数学教学中，要鼓励学生大胆发言，勇于探究讨论，尤其对于那些有争议的数学问题，要引导学生积极探究，从而帮助学生在探究讨论中提高能力。第三，要让学生学会思考。我国古代教育中就非常重视“思“的重要性，提出了“学而不思则罔”的重要论断。在数学教学中，同样要重点培养学生“思考”的品质，让学生养成思考的良好习惯，学会辨析数学知识的难点，理解数学知识的连贯性，从而增强学生的想象力，提高学生分析数学知识的能力和水平。

　三、培养学生质疑的能力，使学生敢于向*挑战

　数学教学离不开学生的质疑，尤其是在新课程改革下，培养学生的质疑能力，让学生敢于质疑，是提高数学教学效果的重要因素。在传统的数学教学中，学生根本没有质疑的意识，在解完一道题时，总是没有自信心，只能向教师或者*的书籍求证，这样就抑制了学生创新思维的发展，长此下去，会让学生没有学习的*。高中数学阶段，应该培养学生的质疑能力，让学生敢于向*挑战，这对于提高学生的数学能力素质，培养学生的创新能力具有重要的意义。如果真的找出了“*”的错误，这对于学生来说将是更大的鞭策。因此，在教学中教师要有意识地培养学生的质疑能力，对于学生的一些新的发现、新的想法要及时予以鼓励，激发学生进取的精神，让学生在质疑中提高数学学习的兴趣，树立数学学习的自信心。

　四、教给学生学习的方法，培养学生良好的学习习惯

　新的数学教材中，都有教法指导和学法渗透的内容，如在每一章都编排了“做一做”“读一读”“想一想”等相关的知识，其主要的目的就是让学生学会学习，学会思考。因此，在教学中教师要注重学生学习方法指导，让学生养成良好的学习习惯。比如，让学生学会读题的方法。读题并不是随意阅读，是让学生在读题中找到有价值的内容，从而为进一步解决问题奠定基础。如果学生在读题中找到了相关的问题，教师要及时予以鼓励，树立学生学习的信心和勇气，使学生在学习中感受到成功的喜悦，从而产生兴趣，培养良好习惯。同时，教师在教学中还要学会创设良好的学习情境，引发学生积极地去探究数学知识，让学生在教师所创设的情境中锻炼能力，提高素质，从而为培养学生的良好习惯奠定基础。总之，高中数学教学是学生数学学习的基础。作为高中数学教师，一定要认识到高中数学教学的重要性，不断转变教学观念，树立全新的数学教学思想，使数学知识能够与我们的生活紧密联系起来，做到学以致用，让学生在数学学习中感受到成功的喜悦，从而进一步增强学生数学学习的主动性，使学生在数学学习中各方面能力都能得到进一步的提高。

高中数学必修5《等比数列》教案一

　教学准备

　教学目标

　1、数学知识：掌握等比数列的概念，通项公式，及其有关性质;

　2、数学能力：通过等差数列和等比数列的类比学习，培养学生类比归纳的能力;

　归纳?猜想?证明的数学研究方法;

　3、数学思想：培养学生分类讨论，函数的数学思想。

　教学重难点

　重点：等比数列的概念及其通项公式，如何通过类比利用等差数列学习等比数列;

　难点：等比数列的性质的探索过程。

　教学过程

　教学过程：

　1、 问题引入：

　前面我们已经研究了一类特殊的数列?等差数列。

　问题1：满足什么条件的数列是等差数列?如何确定一个等差数列?

　(学生口述，并投影)：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

　要想确定一个等差数列，只要知道它的首项a1和公差d。

　已知等差数列的首项a1和d，那么等差数列的通项公式为：(板书)an=a1+(n-1)d。

　师：事实上，等差数列的关键是一个?差?字，即如果一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

　(第一次类比)类似的，我们提出这样一个问题。

　问题2：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的?等于同一个常数，那么这个数列叫做?数列。

　(这里以填空的形式引导学生发挥自己的想法，对于?和?与?积?的情况，可以利用具体的例子予以说明：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的?和?(或?积?)等于同一个常数的话，这个数列是一个各项重复出现的?周期数列?，而与等差数列最相似的是?比?为同一个常数的情况。而这个数列就是我们今天要研究的等比数列了。)

　2、新课：

　1)等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做公比。

　师：这就牵涉到等比数列的通项公式问题，回忆一下等差数列的通项公式是怎样得到的?类似于等差数列，要想确定一个等比数列的通项公式，要知道什么?

　师生共同简要回顾等差数列的通项公式推导的方法：累加法和迭代法。

　公式的推导：(师生共同完成)

　若设等比数列的公比为q和首项为a1，则有：

　方法一：(累乘法)

　3)等比数列的性质：

　下面我们一起来研究一下等比数列的性质

　通过上面的研究，我们发现等比数列和等差数列之间似乎有着相似的地方，这为我们研究等比数列的性质提供了一条思路：我们可以利用等差数列的性质，通过类比得到等比数列的性质。

　问题4：如果{an}是一个等差数列，它有哪些性质?

　(根据学生实际情况，可引导学生通过具体例子，寻找规律，如：

　3、例题巩固：

　答案：1458或128。

　例2、正项等比数列{an}中，a6?a15+a9?a12=30，则log15a1a2a3 ?a20 =_ 10 ____.

　例3、已知一个等差数列：2，4，6，8，10，12，14，16，?，2n，?，能否在这个数列中取出一些项组成一个新的数列{cn}，使得{cn}是一个公比为2的等比数列，若能请指出{cn}中的第k项是等差数列中的第几项?

　(本题为开放题，没有唯一的答案，如对于{cn}：2，4，8，16，?，2n，?，则ck=2k=2?2k-1，所以{cn}中的第k项是等差数列中的第2k-1项。关键是对通项公式的理解)

　1、 小结：

　今天我们主要学习了有关等比数列的概念、通项公式、以及它的性质，通过今天的学习

　我们不仅学到了关于等比数列的有关知识，更重要的是我们学会了由类比?猜想?证明的科学思维的过程。

　2、 作业：

　P129：1，2，3

　思考题：在等差数列：2，4，6，8，10，12，14，16，?，2n，?，中取出一些项：6，12，24，48，?，组成一个新的数列{cn}，{cn}是一个公比为2的等比数列，请指出{cn}中的第k项是等差数列中的第几项?

　教学设计说明：

　1、 教学目标和重难点：首先作为等比数列的第一节课，对于等比数列的概念、通项公式及其性质是学生接下来学习等比数列的基础，是必须要落实的;其次，数学教学除了要传授知识，更重要的是传授科学的研究方法，等比数列是在等差数列之后学习的因此对等比数列的学习必然要和等差数列结合起来，通过等比数列和等差数列的类比学习，对培养学生类比?猜想?证明的科学研究方法是有利的。这也就成了本节课的重点。

　2、 教学设计过程：本节课主要从以下几个方面展开：

　1) 通过复习等差数列的定义，类比得出等比数列的定义;

　2) 等比数列的通项公式的推导;

　3) 等比数列的性质;

　有意识的引导学生复习等差数列的定义及其通项公式的探求思路，一方面使学生回顾旧

　知识，另一方面使学生通过联想，为类比地探索等比数列的定义、通项公式奠定基础。

　在类比得到等比数列的定义之后，再对几个具体的数列进行鉴别，旨在遵循?特殊?一般?特殊?的认识规律，使学生体会观察、类比、归纳等合情推理方法的应用。培养学生应用知识的能力。

　在得到等比数列的定义之后，探索等比数列的通项公式又是一个重点。这里通过问题3的设计，使学生产生不得不考虑通项公式的心理倾向，造成学生认知上的冲突，从而使学生主动完成对知识的接受。

　通过等差数列和等比数列的通项公式的比较使学生初步体会到等差和等比的相似性，为下面类比学习等比数列的性质，做好铺垫。

　等比性质的研究是本节课的高潮，通过类比

　关于例题设计：重知识的应用，具有开放性，为使学生更好的掌握本节课的内容。

　高中数学必修5《等比数列》教案二

　教学准备

　教学目标

　知识目标：使学生掌握等比数列的定义及通项公式，发现等比数列的一些简单性质，并能运用定义及通项公式解决一些实际问题。

　能力目标：培养运用归纳类比的方法发现问题并解决问题的能力及运用方程的思想的计算能力。

　德育目标：培养积极动脑的学习作风，在数学观念上增强应用意识，在个性品质上培养学习兴趣。

　教学重难点

　本节的重点是等比数列的定义、通项公式及其简单应用，其解决办法是归纳、类比。

　本节难点是对等比数列定义及通项公式的深刻理解，突破难点的关键在于紧扣定义，另外，灵活应用定义、公式、性质解决一些相关问题也是一个难点。

　教学过程

　二、教法与学法分析

　①通过实例，让学生发现规律。让学生在问题情景中，经历知识的形成和发展，力求使学生学会用类比的思想去看待问题。②营造民主的教学氛围，把握好师生的情感交流，使学生参与教学全过程，让学生唱主角，老师任导演。③力求反馈的全面性、及时性。通过精心设计的提问，让学生思维动起来，针对学生回答的问题，老师进行适当的调控。④给学生思考的时间和空间，不急于把结果抛给学生，让学生自己去观察、分析、类比得出结果，老师点评，逐步养成科学严谨的学习态度，提高学生的推理能力。⑤以启迪思维为核心，启发有度，留有余地，导而弗牵，牵而弗达。这样做增加了学生的参与机会，增强学生的参与意识，教给学生获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体，使学生学会学习，提高学生学习的兴趣和能力。

　三、教学程序设计

　(4)等差中项：如果a 、 A 、 b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。

　说明：通过复习等差数列的相关知识，类比学习本节课的内容，用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点。

　2.导入新课

　本章引言中关于在国际象棋棋盘各格子里放麦粒的问题中，各个格子的麦粒数依次是:

　1 , 2 , 4 , 8 , ? , 263

　再来看两个数列：

　5 ， 25 ，125 ， 625 ， ...

　

　说明：引导学生通过?观察、分析、归纳?，类比等差数列的定义得出等比数列的定义，为进一步理解定义，给出下面的问题：

　判定以下数列是否为等比数列，若是写出公比q，若不是，说出理由，然后回答下面问题。

　-1 , -2 , -4 , -8 ?

　-1 , 2 , -4 , 8 ?

　-1 , -1 , -1 , -1 ?

　1 , 0 , 1 , 0 ?

　提出问题：(1)公比q能否为零?为什么?首项a1呢?

　(2)公比q=1时是什么数列?

　(3)q>0是递增数列吗?q<0递减吗?

　说明：通过师生问答，充分调动学生学习的主动性及学习热情，活跃课堂气氛，同时培养学生的口头表达能力和临场应变能力。另外通过趣味性的问题，来提高学生的学习兴趣。激发学生发现等比数列的定义及其通项公式的强烈欲望。

　3.尝试推导通项公式

　让学生回顾等差数列通项公式的推导过程，引导推出等比数列的通项公式。

　推导方法：叠乘法。

　说明：学生从方法一中学会从特殊到一般的方法，并从次数中去发现规律，以培养学生的观察能力;另外回忆等差数列的特点，并类比到等比数列中来，培养学生的类比能力及将新知识转化到旧知识的能力。方法二是让学生掌握?叠乘?的思路。

　4.探索等比数列的图像

　等差数列的图像可以看成是直线上一群孤立的点构成的，观察等比数列的通项公式，你能得出什么结果?它的图像如何?

　变式2.等比数列{an}中，a2 = 2 , a9 = 32 , 求q.

　(学生自己动手解答。)

　说明：例1的目的是让学生熟悉公式并应用于实际，例2及变式是让学生明白，公式中a1 ,q,n,an四个量中，知道任意三个即可求另一个。并从这些题中掌握等比数列运算中常规的消元方法。

　6.探索等比数列的性质

　类比等差数列的性质，猜测等比数列的性质，然后引导推证。

　7.性质应用

　例3.在等比数列{an}中，a5 = 2 , a10 = 10 , 求a15

　(让学生自己动手，寻求多种解题方法。)

　方法一：由题意列方程组解得

　方法二：利用性质2

　方法三：利用性质3

　例4(见教材例3)已知数列{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证:{an?bn}是等比数列。

　8.小结

　为了让学生将获得的知识进一步条理化，系统化，同时培养学生的归纳总结能力及练习后进行再认识的能力，教师引导学生对本节课进行总结。

　1、等比数列的定义，怎样判断一个数列是否是等比数列

　2、等比数列的通项公式，每个字母代表的含义。

　3、等比数列应注意那些问题(a1?0,q?0)

　4、等比数列的图像

　5、通项公式的应用 (知三求一)

　6、等比数列的性质

　7、等比数列的概念(注意两点①同号两数才有等比中项

　②等比中项有两个，他们互为相反数)

　8、本节课用的主要思想

　?类比思想

　9.布置作业

　习题3.4　1②、④　3. 8. 9.

　10.板书设计